Question

16．在△ABC中，若sinA=$\frac{sinB+sinC}{cosB+cosC}$
（1）判断三角形的形状；
（2）如果三角形面积为4，求三角形周长的最小值．

Answer 1

分析 （1）根据正弦定理和余弦定理化简已知的式子，整理后即可判断△ABC的形状；
（2）由（1）和三角形的面积列出方程，表示出三角形的边和周长，由基本不等式即可得到最小值．

解答 解：由题意得，sinA=$\frac{sinB+sinC}{cosB+cosC}$，
由正弦定理得，a（cosB+cosC）=b+c，
由余弦定理得，a（cosB+cosC）=b+c，
a（$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$+$\frac{{b}^{2}+{a}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$）=b+c
a²b+c²b-b³+a²c+b²c-c³=2bc（b+c）
a²（b+c）-（b³+c³）=bc（b+c），
化简得，a²=b²+c²，
所以△ABC是直角三角形；
（2）由（1）可得，△ABC的面积S=$\frac{1}{2}bc=4$，
则bc=8，
∴a²=b²+c²，∴a=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$，
△ABC的周长L=a+b+c=$\sqrt{{b}^{2}+{c}^{2}}$+b+c，
≥$\sqrt{2bc}+2\sqrt{bc}$=4+4$\sqrt{2}$（当且仅当b=c时取等号），
∴三角形周长的最小值是4+4$\sqrt{2}$．

点评 本题考查正弦定理和余弦定理的应用：边角互化，以及基本不等式，考查化简、变形能力，属于中档题．