Question

1．已知函数f（x）=-$\frac{x^2}{a}$+alnx．
（1）判断函数f（x）在定义域上的增减性；
（2）若f'（x）-$\frac{1}{a}$+2x≥-$\frac{2x}{a}$+$\frac{a-2}{x}$在（0，+∞）上恒成立，求a的取值范围；
（3）设函数g（x）=（${\frac{1}{a}$+b）x²+cx（其中a，b，c为实常数），已知曲线h（x）=f（x）+g（x）在x=1处的切线与曲线m（x）=2x²+x-1在x=2处切线是同一条直线，且函数h（x）无极值点且h′（x）存在零点，求a，b，c的值．

Answer 1

分析 （1）求出导函数，令导函数大于零和小于零，通过对参数a分类讨论，得出函数的单调区间；
（2）不等式可整理为$\frac{1}{a}≤\frac{2}{x}+2x$恒成立，只需求出右式的最小值即可．
（3）通过m'（x）=4x+1，求出切线方程y=9x-9；根据题意，得出$\left\{\begin{array}{l}h'（1）=2b+c+a=9\\ h（1）=b+c=0\end{array}\right.$，得出a，b，c的关系：$\left\{\begin{array}{l}a=9+c\\ b=-c\end{array}\right.$，得出导函数$h'（x）=-2cx+c+\frac{9+c}{x}=\frac{{-2c{x^2}+cx+9+c}}{x}=0$，要使满足题意，则二次函数有等跟时成立，最后求出参数值．

解答 解：（1）由已知可得，函数f（x）的定义域为（0，+∞），
所以$f'（x）=-\frac{2x}{a}+\frac{a}{x}$，令f'（x）＞0，
解得$\frac{{2{x^2}}}{a}＜a$，
当a＞0时，$-\frac{{\sqrt{2}a}}{2}＜x＜\frac{{\sqrt{2}a}}{2}$，即$0＜x＜\frac{{\sqrt{2}a}}{2}$，
所以函数f（x）在（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}a$）内为增函数；
当a＜0时，$x＜\frac{{\sqrt{2}a}}{2}$或$x＞-\frac{{\sqrt{2}a}}{2}$，即$x＞-\frac{{\sqrt{2}a}}{2}$，所以函数f（x）在（-$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，+∞）内为增函数；
令f'（x）≤0，解得$\frac{{2{x^2}}}{a}≥a$，当a＞0时，$x≤-\frac{{\sqrt{2}a}}{2}$或$x≥\frac{{\sqrt{2}a}}{2}$，即$x≥\frac{{\sqrt{2}a}}{2}$，所以函数f（x）在$[{\frac{{\sqrt{2}a}}{2}，+∞}）$内为减函数；当a＜0时，$\frac{{\sqrt{2}a}}{2}≤x≤-\frac{{\sqrt{2}a}}{2}$，即$0＜x≤-\frac{{\sqrt{2}a}}{2}$，所以函数f（x）在$（{0，-\frac{{\sqrt{2}a}}{2}}]$内为减函数；
综上：当a＞0时，函数f（x）在（0，$\frac{\sqrt{2}}{2}a$）内为增函数；在$[{\frac{{\sqrt{2}a}}{2}，+∞}）$内为减函数；
当a＜0时，函数f（x）在$（{0，-\frac{{\sqrt{2}a}}{2}}]$内为减函数；在（-$\frac{\sqrt{2}}{2}a$，+∞）内为增函数；（4分）
（2）根据题意可得$f'（x）-\frac{1}{a}+2x≥-\frac{2x}{a}+\frac{a-2}{x}$，即$\frac{1}{a}≤\frac{2}{x}+2x$，而$\frac{2}{x}+2x≥2\sqrt{\frac{2}{x}•2x}=4$，当且仅当$\frac{2}{x}=2x$即x=1时取得．
根据题意，若f'（x）$-\frac{1}{a}$+2x≥0在（0，+∞）上恒成立，即是$\frac{1}{a}≤\frac{2}{x}+2x$恒成立，所以$\frac{1}{a}≤4$，
所以等价于$\left\{\begin{array}{l}a（{1-4a}）≤0\\ a≠0\end{array}\right.$，所以a＜0或$a≥\frac{1}{4}$，所以a的取值范围为a＜0或$a≥\frac{1}{4}$，．
（3）由题意可得，m'（x）=4x+1，所以m'（2）=9，所以曲线m（x）=2x²+x-1在x=2处切线斜率是k=9，所以切线方程为y=9x-9；
因为$h（x）=f（x）+g（x）=-\frac{x^2}{a}+alnx+（{\frac{1}{a}+b}）{x^2}+cx=b{x^2}+cx+alnx$，
所以$h'（x）=2bx+c+\frac{a}{x}$，所以$\left\{\begin{array}{l}h'（1）=2b+c+a=9\\ h（1）=b+c=0\end{array}\right.$，化简$\left\{\begin{array}{l}a=9+c\\ b=-c\end{array}\right.$，此时h（x）=-cx²+cx+（9+c）lnx，$h'（x）=-2cx+c+\frac{9+c}{x}$，
因为函数h（x）无极值点且h'（x）存在零点，所以$h'（x）=-2cx+c+\frac{9+c}{x}=\frac{{-2c{x^2}+cx+9+c}}{x}=0$
所以-2cx²+cx+9+c=0，所以△=c²+8c（9+c）=0，解得c=-8，所以b=8，a=1，
故a=1，b=8，c=-8．

点评 考查了通过导函数判断函数的单调区间，导函数的意义，函数极值点和零点的概念理解．难点是对参数的分类讨论，恒成立问题的转化．