Question

13．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足$\frac{sinA-sinC}{sinA+sinB}$=$\frac{a-b}{c}$，b=$\sqrt{7}$，cos²C=$\frac{1}{28}$．
（Ⅰ）求B，a的值；
（Ⅱ）若A＞$\frac{π}{6}$，如图，D为边BC中点，P是边AB上动点，求|CP|+|PD|的最小值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简，整理得到关系式，再利用余弦定理表示出cosB，将得出关系式代入求出cosB的值，确定出B的度数，由题意确定出sinC的值，再由b与sinB的值，利用正弦定理求出c的值，再利用余弦定理求出a的值即可；
（Ⅱ）由A＞$\frac{π}{6}$，知a=2，作C关于AB的对称点C′，连C′D，C′P，C′B，如图所示，由余弦定理求出C′D的长，利用两点之间线段最短即可确定出|CP|+|PD|的最小值．

解答 解：（Ⅰ）已知等式利用正弦定理化简得：$\frac{sinA-sinC}{sinA+sinB}$=$\frac{a-c}{a+b}$=$\frac{a-b}{c}$，
整理得：a²+c²-b²=ac，
∴cosB=$\frac{{a}^{2}+{c}^{2}-{b}^{2}}{2ac}$=$\frac{1}{2}$，
∵B为△ABC的内角，
∴B=$\frac{π}{3}$；
由cos²C=$\frac{1}{28}$，得到sinC=$\sqrt{\frac{27}{28}}$，
∵b=$\sqrt{7}$，sinB=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
由正弦定理得：$\frac{c}{sinC}$=$\frac{b}{sinB}$，即$\frac{c}{\sqrt{\frac{27}{28}}}$=$\frac{\sqrt{7}}{\frac{\sqrt{3}}{2}}$，
解得：c=3，
由b²=a²+c²-ac，得7=a²+9-3a，即a²-3a+2=0，
解得：a=1或a=2；
（Ⅱ）由A＞$\frac{π}{6}$，知a=2，作C关于AB的对称点C′，连C′D，C′P，C′B，
由余弦定理得：|C′D|²=|BD|²+|BC′|²+|BD|•|BC′|=1²+2²+2=7，
|CP|+|PD|=|C′P|+|PD|≥|C′D|=$\sqrt{7}$，
当C′，P，D共线时取等号，
则CP+PD的最小值为$\sqrt{7}$．

点评 此题考查了正弦、余弦定理，对称的性质，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握定理是解本题的关键．