Question

若圆C：x²+y²=1在矩阵A=

a   0 0   b

（a＞0，b＞0）对应的变换下变成椭圆E：

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅰ）求a，b的值；
（Ⅱ）判断矩阵A是否可逆，如果可逆，求矩阵A的逆矩阵A^-1，如不可逆，说明理由．

Answer 1

考点：逆变换与逆矩阵,几种特殊的矩阵变换

专题：选作题,矩阵和变换

分析：（Ⅰ）设P（x，y）为圆C上的任意一点，在矩阵A对应的变换下变为另一个点P'（x'，y'），代入椭圆方程，对照圆的方程即可求出a和b的值；
（Ⅱ）因为|A|=

.

2 0 0 3

.

=2

3

≠0，所以矩阵A可逆，再代入逆矩阵的公式，求出结果．

解答： 解：（Ⅰ）设点P（x，y）为圆C：x²+y²=1上任意一点，经过矩阵A变换后对应点为P'（x'，y'），
则

a 0 0 b

x y

=

ax by

=

x′ y′

，所以

x′=ax y′=by

因为点P'（x'，y'）在椭圆E：

x2

4

+

y2

3

=1上，所以

a2x2

4

+

b2y2

3

=1，…（2分）
又圆方程为x²+y²=1，故

a2 4 =1 b2 3 =1

，即

a2=4 b2=3

，
又a＞0，b＞0，所以a=2，b=

3

．…（4分）
（Ⅱ）A=

2 0 0 3

，因为|A|=

.

2 0 0 3

.

=2

3

≠0，所以矩阵A可逆，…（5分）
所以A-1=

1 2 0 0 3 3

…（7分）

点评：本题主要考查了特殊矩阵的变换、逆变换与逆矩阵，同时考查了计算能力，属于基础题．