Question

已知各项均不相等的等差数列{a_n}的前四项和S₄=14，且a₁，a₃，a₇成等比．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（Ⅱ）设T_n为数列{

1

anan+2

}的前n项和，若T_n≤λ对?n∈N^*恒成立，求实数λ的最小值．

Answer 1

考点：数列的求和,等差数列的性质

专题：等差数列与等比数列

分析：（Ⅰ）由已知条件得

4a1+6d=14 (a1+2d)2=a1(a1+6d)

，由此能求出a_n=n+1．
（Ⅱ）由

1

anan+2

=

1

(n+1)(n+3)

=

1

2

(

1

n+1

-

1

n+3

)，利用裂项求和法求出T_n=

1

2

(

1

2

+

1

3

-

1

n+2

-

1

n+3

)＜

5

12

．由此能求出λ的最小值为

5

12

．

解答： 解：（Ⅰ）设等差数列的公差为d，
∵{a_n}的前四项和S₄=14，且a₁，a₃，a₇成等比，
∴

4a1+6d=14 (a1+2d)2=a1(a1+6d)

，
解得d=1，或d=0．（舍）
∴a₁=2，故a_n=n+1．
（Ⅱ）∵a_n=n+1，∴

1

anan+2

=

1

(n+1)(n+3)

=

1

2

(

1

n+1

-

1

n+3

)，
∴T_n=（

1

2

-

1

4

+

1

3

-

1

5

+…+

1

n

-

1

n+2

+

1

n+1

-

1

n+3

）
=

1

2

(

1

2

+

1

3

-

1

n+2

-

1

n+3

)＜

5

12

．
∵T_n≤λ对?n∈N^*恒成立，∴λ≥

5

12

，即λ的最小值为

5

12

．

点评：本题考查数列的通项公式的求法，考查实数的最小值的求法，解题时要认真审题，注意裂项求和法的合理运用．