Question

投掷四枚不同的金属硬币A、B、C、D，假定A、B两枚正面向上的概率均为

1

2

，另两枚C、D为非均匀硬币，正面向上的概率均为a（0＜a＜1），把这四枚硬币各投掷一次，设?表示正面向上的枚数．
（Ⅰ）若A、B出现一枚正面向上一枚反面向上与C、D出现两枚正面均向上的概率相等，求a的值；
（Ⅱ）求?的分布列及数学期望（用a表示）；
（Ⅲ）若出现2枚硬币正面向上的概率都不小于出现1枚和3枚硬币正面向上的概率，求a的取值范围．

Answer 1

考点：离散型随机变量的期望与方差,古典概型及其概率计算公式

专题：概率与统计

分析：（Ⅰ）由题意，得2×

1

2

×（1-

1

2

）=a²，由此能求出a．
（Ⅱ）由题意知?=0，1，2，3，4，分别求出相应的概率，由此能求出?的分布列和?的数学期望．
（Ⅲ）由题意知P（?=2）-P（?=1）≥0．且P（?=2）-P（?=3）≥0，由此能求出a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）由题意，得2×

1

2

×（1-

1

2

）=a²，
解得a=

2

2

…（3分）
（Ⅱ）由题意知?=0，1，2，3，4．…（4分）
P（?=0）=

C

0 2

(1-

1

2

)2

C

0 2

(1-a)2=

1

4

(1-a)2，…（5分）
P（?=1）=

C

1 2

•

1

2

(1-

1

2

)C

0 2

(1-a)2+

C

0 2

(1-

1

2

)2

C

1 2

a(1-a)=

1

2

(1-a)，…（6分）
P（?=2）=

C

2 2

(

1

2

)2

C

0 2

(1-a)2+

C

1 2

1

2

(1-

1

2

)

C

1 2

a(1-a)+

C

0 2

(1-

1

2

)2

C

2 2

a2=

1

4

(1+2a-2a2)，…（7分）
P（?=3）=

C

2 2

(

1

2

)2C

1 2

a(1-a)+

C

1 2

1

2

(1-

1

2

)

C

2 2

a2=

a

2

，…（8分）
P（?=4）=

C

2 2

(

1

2

)2

C

2 2

a2=

1

4

a2．…（9分）
∴?的分布列为：

?	0	1	2	3	4
p	1 4 (1-a)2	1 2 (1-a)	1 4 (1+2a-2a2)	a 2	1 4 a2

?的数学期望为：E?=1×

1

2

(1-a)+2×

1

4

(1+2a-2a2)+3×

a

2

+4×

1

4

a2=2a+1．…（10分）
（Ⅲ）由题意知P（?=2）-P（?=1）=

1

4

(1+2a-2a2)-

1

2

(1-a)=-

1

4

(2a2-4a+1)≥0．
且P（?=2）-P（?=3）=

1

4

(1+2a-2a2)-

a

2

=-

1

4

(2a2-1)≥0．…（12分）
∴

2a2-4a+1≤0 2a2-1≤0

，解得

2- 2

2

≤a≤

2

2

，
∴a的取值范围是[

2- 2

2

，

2

2

]．…（13分）

点评：本题主要考查n次独立重复试验中恰好发生k次的概率、离散型随机变量的期望与方差、概率的应用等基础知识，考查运算求解能力．属于中档题．