Question

如图，已知圆C与y轴相切于点T（0，2），与x轴正半轴相交于两点M，N（点M必在点N的右侧），且|MN|=3，己知椭圆D：

x2

a2

+

y2

b2

=1（a＞b＞0）的焦距等于2|ON|，离心率e=

1

2

；
（1）求圆C和椭圆D的方程；
（2）若过点M斜率不为零的直线l与椭圆D交于A、B两点，求证：直线NA与直线NB的倾角互补．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（1）由已知条件求出圆C的方程为(x-

5

2

)2+(y-2)2=

25

4

，令y=0，得N（1，0），M（4，0），由

2c=2 a= c a = 1 2

，能求出椭圆D的方程．
（Ⅱ）设直线l的方程为y=k（x-4），由

x2 4 + y2 3 =1 y=k(x-4)

，得（3+4k²）x²-32k²x+64k²-12=0，设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=

32k2

3+4k2

，x1x2=

64k2-12

3+4k2

，由此能证明直线AN与直线BN的倾斜角互补．

解答： （1）解：设圆半径为r，由题意圆心为（r，2），
∵|MN|=3，∴r2=(

3

2

)2+22=

25

4

，
∴圆C的方程为(x-

5

2

)2+(y-2)2=

25

4

，①
在①中，令y=0，得x=1或x=4，∴N（1，0），M（4，0），
由

2c=2 a= c a = 1 2

，得c=1，a=2，b²=4-2=3，
∴椭圆D的方程为

x2

4

+

y2

3

=1．
（Ⅱ）证明：设直线l的方程为y=k（x-4），
由

x2 4 + y2 3 =1 y=k(x-4)

，得（3+4k²）x²-32k²x+64k²-12=0，（*）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），则x1+x2=

32k2

3+4k2

，x1x2=

64k2-12

3+4k2

，
∵k_NA+k_NB=

y1

x1-1

+

y2

x2-1

=

k(x1-4)

x1-1

+

k(x2-4)

x2-1

=k

(x1-4)(x2-1)+(x2-4)(x1-1)

(x1-1)(x2-1)

=

k

(x1-1)(x2-1)

[

2(64k2-12)

3+4k2

-

160k2

3+4k2

+8]=0，
∴k_NA=-k_NB．
当x₁=1或x₂=1时，k=±1，
此时，对方程（*），△=0，不合题意．
∴直线AN与直线BN的倾斜角互补．

点评：本题考查圆的方程和椭圆方程的求法，考查两直线的倾斜角互补的证明，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．