Question

在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c，cos（C+

π

4

）+cos（C-

π

4

）=

2

2

．
（1）求角C的大小；
（2）若c=2

3

，a=2b，求边a，b的长．

Answer 1

考点：余弦定理,两角和与差的余弦函数

专题：三角函数的求值

分析：（1）已知等式左边利用两角和与差的余弦函数公式化简，整理求出cosC的值，即可确定出C的度数；
（2）利用余弦定理列出关系式，将c，cosC的值代入，并将a=2b代入求出b的值，进而求出a的值即可．

解答： 解：（1）∵cos（C+

π

4

）+cos（C-

π

4

）=

2

2

（cosC-sinC+cosC+sinC）=

2

2

，
∴cosC=

1

2

，
∵C∈（0，π），
∴C=

π

3

；
（2）∵c=2

3

，cosC=

1

2

，
∴由余弦定理得：c²=a²+b²-2abcos

π

3

，即a²+b²-ab=12，
代入a=2b得，3b²=12，
解得：b=2，
则a=2b=4．

点评：此题考查了余弦定理，两角和与差的余弦函数公式，以及特殊角的三角函数值，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．