Question

已知双曲线

x2

a2

-

y2

b2

=1的焦距长为2c，过原点O作圆：（x-c）²+y²=b²的两条切线，切点分别是A，B，且∠AOB=120°，那么该双曲线的离心率为（　　）

• A、

  2

• B、

  3

• C、2
• D、

  5

Answer 1

考点：双曲线的简单性质

专题：圆锥曲线的定义、性质与方程

分析：利用双曲线的标准方程及其性质、圆的对称性、直角三角形的边角关系即可得出．

解答： 解：如图所示，
连接圆心与切点，可得MA，MB．
则MA⊥OA，MB⊥OB，
∵∠AOB=120°，∴∠AOM=60°．
∴

AM

OM

=sin60°=

3

2

，即2b=

3

c．
∴3c²=4b²=4（c²-a²），
化为c²=4a²．
∴c=2a．
∴e=

c

a

=2．
故选：C．

点评：本题考查了双曲线的标准方程及其性质、圆的对称性、直角三角形的边角关系，属于基础题．