Question

已知函数f（x）=

3

sin²x+sinxcosx-

3

2

．
（1）求f（x）的最小正周期；
（2）设△ABC的三个角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若f（

A

2

+

π

4

）=1，且a=2，求b+c的取值范围．

Answer 1

考点：正弦定理,两角和与差的正弦函数,二倍角的余弦,三角函数的周期性及其求法

专题：三角函数的求值,三角函数的图像与性质

分析：（1）利用二倍角公式以及两角和与差的三角函数，利用三角函数的周期公式求解即可；
（2）利用正弦定理区别b，c的值，b+c为B的正弦函数，通过三角函数值域，求出b+c的取值范围．

解答： 解：（1）函数f（x）=

3

sin²x+sinxcosx-

3

2

=

1

2

sin2x-

3

2

cos2x=sin（2x-

π

3

），
∴函数的最小正周期为：π．
（2）f（

A

2

+

π

4

）=1，∴sin（A+

π

6

）=1，∵A∈（0，π），∴A=

π

3

，
∴由正弦定理可得：b=

asinB

sinA

=

4 3 sinB

3

，c=

4 3

3

sinC，
∴b+c=

4 3

3

(sinB+sinC)=

4 3

3

[sinB+sin(A+B)]=

4 3

3

sinB+

4 3

3

sin(

2π

3

-B)]=4sin(B+

π

6

)，
∵A=

π

3

∴B∈(0，

2π

3

)，
∴B+

π

6

∈(

π

6

，

5π

6

)，
∴sin(B+

π

6

)∈(

1

2

，1]，4sin(B+

π

6

)∈（2，4]
∴b+c的取值范围：（2，4]．

点评：本题考查正弦定理的应用，三角函数的化简求值，三角函数的周期的求法，函数的值域的应用，考查计算能力．