Question

已知椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0）的右焦点为F（c，0），M为椭圆的上顶点，O为坐标原点，且以焦点和短轴的端点为顶点构成边长为

2

的正方形．
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）是否存在直线l交椭圆于P，Q两点，且使F为△PQM的垂心？若存在，求出直线l的方程；若不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：直线与圆锥曲线的综合问题

专题：圆锥曲线中的最值与范围问题

分析：（Ⅰ）由已知条件推导出b=1，a=

2

b=

2

，由此能求出椭圆方程．
（Ⅱ）假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且使F为△PQM的垂心设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），设直线l的方程为y=x+m，由

y=x+m x2+2y2=2

，得3x²+4mx+2m²-2=0，由此能求出存在直线l交椭圆于P，Q两点，且使F为△PQM的垂心，直线l的方程为3x-3y-4=0．

解答： 解：（Ⅰ）∵椭圆

x2

a2

+

y2

b2

=1，（a＞b＞0）的右焦点为F（c，0），
M为椭圆的上顶点，O为坐标原点，
且以焦点和短轴的端点为顶点构成边长为

2

的正方形．
∴b=1，a=

2

b=

2

，
∴椭圆方程为

x2

2

+y2=1．…（4分）
（Ⅱ）假设存在直线l交椭圆于P，Q两点，且使F为△PQM的垂心
设P（x₁，y₁），Q（x₂，y₂），∵M（0，1），F（1，0），
∴k_MF=-1，∴直线l的斜率k=1，∴设直线l的方程为y=x+m，
由

y=x+m x2+2y2=2

，得3x²+4mx+2m²-2=0，
由题意知△＞0，即m²＜3，…（7分）
且x1+x2=-

4m

3

，x1x2=

2m2-2

3

，
由题意应有

MP

•

FQ

=0，又

MP

=(x1，y1-1)，

FQ

=(x2-1，y2)，
∴2x1x2+(x1+x2)(m-1)+m2-m=0…（9分）
2×

2m2-2

3

-

4

3

m(m-1)+m2-m=0，解得m=-

4

3

或m=1…（11分）
经检验，当m=1时，△PQM不存在，故舍去m=1，
当m=-

4

3

时，所求直线y=x-

4

3

满足题意，
综上，存在直线l交椭圆于P，Q两点，且使F为△PQM的垂心，
且直线l的方程为3x-3y-4=0．…（14分）

点评：本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的直线是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意函数与方程思想的合理运用．