Question

如图，△ABC是直角三角形，∠ABC=90°以AB为直径的圆O交AC于点E，点D是BC边的中点，连接OD交圆O于点M．
（1）求证：O、B、D、E四点共圆；
（2）若AB=4，AC=5，DM=1，求DE的长度．

Answer 1

考点：圆的切线的性质定理的证明,与圆有关的比例线段

专题：选作题,立体几何

分析：（1）连接BE、OE，由直径所对的圆周角为直角，得到BE⊥EC，从而得出DE=BD=

1

2

BC，由此证出△ODE≌△ODB，得∠OED=∠OBD=90°，利用圆内接四边形形的判定定理得到O、B、D、E四点共圆；
（2）延长DO交圆O于点H，由（1）的结论证出DE为圆O的切线，从而得出DE²=DM•DH，再将DH分解为DO+OH，并利用OH=

1

2

AB，DO=

1

2

AC，可得2DE²=DM•AC+DM•AB，即可求DE的长度．

解答： （1）证明：连接BE、OE，则
∵AB为圆0的直径，∴∠AEB=90°，得BE⊥EC，
又∵D是BC的中点，
∴ED是Rt△BEC的中线，可得DE=BD．
又∵OE=OB，OD=OD，∴△ODE≌△ODB．
可得∠OED=∠OBD=90°，
因此，O、B、D、E四点共圆；
（2）解：延长DO交圆O于点H，
∵DE⊥OE，OE是半径，∴DE为圆O的切线．
可得DE²=DM•DH=DM•（DO+OH）=DM•DO+DM•OH．
∵OH=

1

2

AB，OD为△ABC的中位线，得DO=

1

2

AC，
∴2DE²=DM•AC+DM•AB．
∵AB=4，AC=5，DM=1，
∴DE2=

9

2

，DE=

3 2

2

．

点评：本题着重考查了圆的切线的性质定理与判定、直径所对的圆周角、全等三角形的判定与性质等知识，属于中档题．