Question

已知函数g（x）=xlnx-x-

1

6

ax³（a∈R），f（x）=g′（x）+（a-1）x
（Ⅰ）当a=2时，求函数f（x）的单调递增区间；
（Ⅱ）对于函数F（x）定义域内的两个自变量的值x₁，x₂（x₁＜x₂），若

F(x1)-F(x2)

x1-x2

-F′（

x1+x2

2

）=0，则我们把有序数对（x₁，x₂）叫做函数F（x）的“零点对”．试问，函数f（x）是否存在这样的“零点对”？如果存在，请你求出其中一个；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

考点：利用导数研究函数的单调性,利用导数求闭区间上函数的最值

专题：综合题,导数的综合应用

分析：（Ⅰ）易求f′（x），在定义域内解不等式f′（x）＞0即可；
（Ⅱ）只需看

f(x1)-f(x2)

x1-x2

-f′（

x1+x2

2

）=0是否成立，化简后整理得ln

x2

x1

=

2(x2-x1)

x2+x1

=

2( x2 x1 -1)

x2 x1 +1

，设

x2

x1

=t（t＞1），上式化为lnt+

4

t+1

=2，令h（t）=lnt+

4

t+1

-2，利用导数可判断h（t）＞0，由此可得结论；

解答： 解：（Ⅰ）由已知得，f（x）=lnx-

1

2

ax²+（a-1）x=lnx-x²+x，
∴f′（x）=

1

x

-2x+1=

1-2x2+x

x

=-

(x-1)(2x+1)

x

，
令f′（x）＞0，解得-

1

2

＜x＜1，函数的定义域为（0，+∞），
∴函数f（x）的单调递增区间是（0，1）．
（Ⅱ）∵f（x）=lnx-

1

2

ax²+（a-1）x，∴f′（x）=

1

x

-ax+（a-1），
∴f′（

x1+x2

2

）=

1

x1+x2 2

-a（

x1+x2

2

）+（a-1），
令M=

f(x1)-f(x2)

x1-x2

-f′（

x1+x2

2

）
=

[lnx1- 1 2 ax12+(a-1)x1]-[lnx2- 1 2 ax22+(a-1)x2]

x1-x2

-[

1

x1+x2 2

-a（

x1+x2

2

）+（a-1）]
=

lnx1-lnx2

x1-x2

-

2

x1+x2

，
由M=0，得

lnx1-lnx2

x1-x2

=

2

x1+x2

，即ln

x2

x1

=

2(x2-x1)

x2+x1

=

2( x2 x1 -1)

x2 x1 +1

，
设

x2

x1

=t（t＞1），上式化为：lnt=

2(t-1)

t+1

=2-

4

t+1

，即lnt+

4

t+1

=2，
令h（t）=lnt+

4

t+1

-2，h′（t）=

1

t

-

4

(t+1)2

=

(t-1)2

t(t+1)2

，
∵t＞1，显然h′（t）＞0，
∴h（t）在（1，+∞）上递增，
∵h（1）=0，显然h（t）＞0恒成立，
∴在（1，+∞）内部存在t，使得h（t）=0成立，即不存在这样的x₁，x₂，使M=0，
∴函数f（x）不存在这样的“零点对”．

点评：该题考查利用导数研究函数的单调性、最值，考查学生对问题的理解分析能力，该题运算量较大，综合性较强，有一定难度．