Question

函数f（x）=6cos²

ωx

2

+

3

sinωx-3（ω＞0）的最小正周期是8．
（Ⅰ）求ω的值及函数f（x）的值域；
（Ⅱ）若f（x₀）=

8 3

5

，且x₀∈（-

10

3

，

2

3

），求f（x₀+1）的值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,三角函数的周期性及其求法,由y=Asin（ωx+φ）的部分图象确定其解析式

专题：三角函数的图像与性质

分析：（Ⅰ）首先，借助于二倍角公式和辅助角公式，化简函数解析式，然后，利用周期公式，确定ω的值，最后，结合三角函数的图象与性质求解函数值域；
（Ⅱ）根据（1），求解x₀的值，然后，再求解f（x₀+1）的值．

解答： 解：（Ⅰ）函数f（x）=6cos²

ωx

2

+

3

sinωx-3
=3cosωx+

3

sinωx
=2

3

（

1

2

sinωx+

3

2

cosωx）
=2

3

sin（ωx+

π

3

）．
函数的周期是2，∴T=2，ω=

2π

T

=π．
2

3

sin（πx+

π

3

）∈[-2

3

，2

3

]．
∴函数f（x）的值域：[-2

3

，2

3

]．
（Ⅱ）若f（x₀）=

8 3

5

，且x₀∈（-

10

3

，

2

3

），∴2

3

sin（πx₀+

π

3

）=

8 3

5

．∴sin（πx₀+

π

3

）=

4

5

．
f（x₀+1）=2

3

sin（πx₀+

π

3

+π）=-2

3

sin（πx₀+

π

3

）=-

8 3

5

．

点评：本题综合考查了二倍角公式、辅助角公式等，注意周期公式在解题中的灵活运用，属于中档题．