Question

在△ABC中，已知tanA=

1

4

，tanB=

3

5

，若△ABC的最小边长为

2

．
（Ⅰ）求△ABC最大边的长；
（Ⅱ）若D为线段AC上一点，且AD=2DC，求BD的长．

Answer 1

考点：正弦定理,两角和与差的正切函数

专题：解三角形

分析：（Ⅰ）△ABC中，由条件可得 0＜A＜B＜

π

4

，sinA=

1

17

，可得a为最小边，a=

2

，c为最大边．根据tan（A+B）的值，可得A+B=

π

4

，C=

3π

4

，再由正弦定理求得c的值．
（Ⅱ）由tanB=

3

5

，可得sinB=

3

34

，利用正弦定理求得 b=3，可得 AD=2，CD=1，△BCD中，由余弦定理求出BD的值．

解答： 解：（Ⅰ）△ABC中，∵已知tanA=

1

4

，tanB=

3

5

，∴0＜A＜B＜

π

4

，C＞

π

2

，sinA=

1

17

，∴a为最小边，a=

2

．
再根据C为最大角，可得边c为最大边．
∵tan（A+B）=

tanA+tanB

1-tanAtanB

=

1 4 + 3 5

1- 1 4 × 3 5

=1，∴A+B=

π

4

，∴C=

3π

4

．
再由正弦定理可得

a

sinA

=

c

sinC

，即

2

1 17

=

c

2 2

，求得 c=

17

．
（Ⅱ）由tanB=

3

5

，可得sinB=

3

34

，利用正弦定理可得

c

sinC

=

b

sinB

，即

17

2 2

=

b

3 34

，解得 b=3．
又D为线段AC上一点，且AD=2DC，∴AD=2，CD=1，△BCD中，由余弦定理可得
BD²=CB²+CD²-2CB•CD•cosC=2+1-2

2

×（-

2

2

）=5，∴BD=

5

．

点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，同角三角函数的基本关系，大边对大角，属于基础题．