Question

在平行四边形ABCD中，|

AD

|=1，|

AB

|=2，|2

AB

-

AD

|=

13

，
（Ⅰ）求∠BAD；
（Ⅱ）若M，N分别是边BC，CD上的点，且满足

| BM |

| BC |

=

| CN |

| CD |

，求

AM

•

AN

的取值范围．

Answer 1

考点：平面向量数量积的运算,向量的模

专题：平面向量及应用

分析：（Ⅰ）首先，根据|2

AB

-

AD

|=

13

，得到|2

AB

-

AD

|²=13，然后，借助于数量积的运算性质求解；
（Ⅱ）直接构造向量关系式，

AM

•

AN

=（

a

+

1

m

b

）•（

m-1

m

b

）=

5m2-2m-1

m2

=-（

1

m

+1）²+6，然后，结合二次函数的知识求解最值．

解答： 解：（Ⅰ）∵|

AD

|=1，|

AB

|=2，|2

AB

-

AD

|=

13

，
∴|2

AB

-

AD

|²=13，
∴4|

AB

|²-4|

AB

||

AD

|cos∠BAD+|

AD

|²=13，
∴cos∠BAD=

1

2

，
∵∠BAD∈[0，π]，
∴∠BAD=

π

3

．
（Ⅱ）建立如图所示的直角坐标系，则B（2，0），A（0，0），
D（

1

2

，

3

2

），设

| BM |

| BC |

=

| CN |

| CD |

=λ，λ∈[0，1]，
M（2+

λ

2

，

3 λ

2

），N（

5

2

-2λ，

3

2

），
所以

AM

•

AN

=（2+

λ

2

，

3 λ

2

）•（

5

2

-2λ，

3

2

）=-λ²-2λ+5，
因为λ∈[0，1]，二次函数的对称轴为：λ=-1，
所以λ∈[0，1]时，-λ²-2λ+5∈[2，5]．
∴求

AM

•

AN

的取值范围[2，5]

点评：本题重点考查了平面向量的基本运算，二次函数的图象与性质等知识，属于中档题．