Question

设函数f（x）=|2x-7|+1．
（1）求不等式f（x）≤|x-1|的解集；
（2）若存在x使不等式f（x）≤ax成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

考点：绝对值不等式的解法

专题：不等式的解法及应用

分析：（Ⅰ）原不等式等价于|2x-7|+1≤|x-1|，分类讨论，求得它的解集．
（Ⅱ） 由函数y=f（x）与函数y=ax的图象可知，当且仅当a≥

2

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，或a＜-2时，函数y=f（x）与函数y=ax的图象有交点，从而得到实数a的取值范围．

解答： 解：（Ⅰ）原不等式等价于|2x-7|+1≤|x-1|，
当x＜1时，-（2x-7）+1≤-（x-1），解得x≥7，∴x不存在；
当1≤x≤

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2

时，-（2x-7）+1≤x+1，解得x≥3，∴3≤x≤

7

2

；
当x＞

7

2

时，2x-7+1≤x-1，解得 x≤5，∴

7

2

＜x≤5．
综上，不等式的解集为[3，5]．
（Ⅱ） 由函数y=f（x）与函数y=ax的图象可知，
当且仅当a≥

2

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，或a＜-2时，函数y=f（x）与函数y=ax的图象有交点，
故存在x使不等式f（x）≤ax成立时，a的取值范围是（-∞-2）∪[

2

7

+∞）．

点评：本题主要考查绝对值不等式的解法，体现了转化、分类讨论的数学思想，属于基础题．