Question

在△ABC中，已知（sinA+sinB+sinC）（sinB+sinC-sinA）=3sinBsinC．
（1）求角A的大小；
（2）设O为△ABC的外心（三角形各边中垂线的交点），当BC=

13

，△ABC的面积为3

3

时，求

AO

•

BC

的值；
（3）设AD为△ABC的中线，当BC=2

3

时，求AD长的最大值．

Answer 1

考点：三角函数中的恒等变换应用,平面向量数量积的运算

专题：计算题,三角函数的求值,解三角形,平面向量及应用

分析：（1）由正弦定理将角化为边，再由余弦定理，即可求得A；
（2）运用余弦定理和面积公式，计算可得b，c，再由向量的数量积的定义和等腰三角形的性质，即可计算得到；
（3）由余弦定理，结合基本不等式可得b²+c²≤24，再由余弦定理求得中线长与b，c的关系，即可得到AD的最大值．

解答： 解：（1）由（sinA+sinB+sinC）（sinB+sinC-sinA）=3sinBsinC，
运用正弦定理可得，（a+b+c）（b+c-a）=3bc，
即（b+c）²-a²=3bc，即b²+c²-a²=bc，
由余弦定理可得cosA=

b2+c2-a2

2bc

=

bc

2bc

=

1

2

，
由A为三角形的内角，则A=60°；
（2）如图O为△ABC的外心，连接OB，OC．
取AB的中点M，AC的中点为N，连接OM，ON，
则OM⊥AB，ON⊥AC，
由余弦定理得a²=b²+c²-2bccos60°，
即13=b²+c²-bc，
又S=

1

2

bcsin60°=

3

4

bc=3

3

，
即有bc=12，
解得b=3，c=4或b=4，c=3．
则

AO

•

BC

=

AO

•（

AC

-

AB

）=

AO

•

AC

-

AO

•

AB

=|

AM

|•|

AC

|-|

AN

|•|

AB

|=

1

2

b²-

1

2

c²=

1

2

×（3²-4²）=-

7

2

或=

1

2

×（4²-3²）=

7

2

；
（3）由余弦定理可得a²=b²+c²-2bccos60°，
即12=b²+c²-bc，
由2bc≤b²+c²，
可得12≥

1

2

（b²+c²），
即b²+c²≤24，当且仅当b=c取等号．
由余弦定理可得cos∠ADB=

3+AD2-c2

2 3 AD

，cos∠ADC=

3+AD2-b2

2 3 AD

，
∠ADB+∠ADC=π，可得cos∠ADB+cos∠ADC=0，
即有6+2AD²=b²+c²，
则有6+2AD²≤24，解得AD≤3．
当且仅当b=c=2

3

时，AD取最大值3．

点评：本题考查正弦定理、余弦定理和面积公式的运用，同时考查向量的数量积的定义和基本不等式的运用，考查运算能力，属于中档题和易错题．