Question

设a是实数，f（x）=a-

2

2x+1

（x∈R）
（1）求a的值，使函数f（x）为奇函数；
（2）求证：对任意实数a，f（x）在R上是增函数．

Answer 1

考点：函数奇偶性的性质,函数单调性的判断与证明

专题：函数的性质及应用

分析：（1）根据奇函数在零处有意义可得f（0）=0，建立等量关系，求出a
（2）运用函数的定义判断证明函数的单调性，先在取两个值x₁，x₂后进行作差变形，确定符号，最后下结论即可．

解答： 解：（1）∵f（x）为奇函数，∴f（0）=0，解得a=1；
（2）证明：设x₁，x₂∈R，x₁＜x₂，
则f（x₁）-f（x₂）
=a-

2

2x1+1

-a+

2

2x2+1

=

2(2x1-2x2)

(2x1+1)(2x2+1)

，
由于指数函数y=2^x在R上是增函数，
且x₁＜x₂，所以2x₁＜2x₂即2x₁-2x₂＜0，
又由2^x＞0，得2x₁+1＞0，2x₂+1＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0即f（x₁）＜f（x₂），
所以，对于任意a，f（x）在R上为增函数．

点评：本题考查了函数的奇偶性和单调性，函数是描述变量之间关系的数学模型，函数单调性是函数的“局部”性质，属于基础题．