Question

17．已知双曲线M：x²-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（b＞0）的左、右焦点分别为F₁，F₂，过点F₁与双曲线的一条渐近线平行的直线与另一条渐近线交于点P，若点P在以原点为圆心，双曲线M的虚轴长为半径的圆内，则b²的取值范围是（　　）

• A． （7+4$\sqrt{3}$，+∞）
• B． （7-4$\sqrt{3}$，+∞）
• C． （7-4$\sqrt{3}$，7+4$\sqrt{3}$）
• D． （0，7-4$\sqrt{3}$）∪（7+4$\sqrt{3}$，+∞）

Answer 1

分析 根据双曲线渐近线的方程求出交点P的坐标，结合点与圆的关系建立不等式关系进行求解即可．

解答 解：过F₁（-c，0）且与渐近线y=bx平行的直线为y=b（x+c），
与另外一条渐近线y=-bx联立得$\left\{\begin{array}{l}{y=b（x+c）}\\{y=-bx}\end{array}\right.$，得$\left\{\begin{array}{l}{x=-\frac{c}{2}}\\{y=\frac{bc}{2}}\end{array}\right.$，即P（-$\frac{c}{2}$，$\frac{bc}{2}$），
以原点为圆心，双曲线M的虚轴长为半径的圆的方程为x²+y²=4b²，
∴（-$\frac{c}{2}$）²+（$\frac{bc}{2}$）²＜4b²，即c²+b²c²＜16b²，
把c²=b²+1代入并整理得b⁴-14b²+1＜0，
得7-4$\sqrt{3}$＜b²＜7+4$\sqrt{3}$，
即b²的取值范围是（7-4$\sqrt{3}$，7+4$\sqrt{3}$），
故选：C

点评 本题主要考查双曲线的方程和性质，根据渐近线方程求出交点坐标，结合点与圆的位置关系建立不等式关系是解决本题的关键．