Question

8．在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是菱形，PD⊥平面ABCD，点D₁为棱PD的中点，过D₁作与平面ABCD平行的平面与棱PA，PB，PC相交于A₁，B₁，C₁，∠BAD=60°．
（1）证明：B₁为PB的中点；
（2）已知棱锥的高为3，且AB=2，AC、BD的交点为O，连接B₁O．求三棱锥B₁-ABO外接球的体积．

Answer 1

分析 （1）由面面平行的性质可得BD∥B₁D₁，故$\frac{P{B}_{1}}{PB}=\frac{P{D}_{1}}{PD}=\frac{1}{2}$，于是B₁为PB的中点；
（2）由OA，OB，OB₁两两垂直可知三棱锥B₁-ABO外接球是以OA、OB、OB₁为长、宽、高的长方体的外接球．于是长方体的对角线长为球的直径．

解答 解：（1）连结B₁D₁
∵平面ABCD∥平面A₁B₁C₁D₁，平面PBD∩平面ABCD=BD，平面PBD∩平面A₁B₁C₁D₁=B₁D₁，
∴BD∥B₁D₁，
∴$\frac{P{B}_{1}}{PB}=\frac{P{D}_{1}}{PD}=\frac{1}{2}$，
∴B₁为PB中点．
（2）∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=60°，
∴△ABD是等边三角形，OA⊥OB．
∴OB=$\frac{1}{2}BD=\frac{1}{2}AB$=1，OA=$\sqrt{3}OB$=$\sqrt{3}$，
∵B₁，O是PB，BD的中点，
∴OB₁∥PD，OB₁=$\frac{1}{2}PD$=$\frac{3}{2}$．
∵PD⊥平面ABCD，
∴OB₁⊥平面ABCD，∵OA?平面ABCD，OB?平面ABCD，
∴OA⊥OB₁，OB⊥OB₁，
∴三棱锥B₁-ABO外接球是以OA、OB、OB₁为长、宽、高的长方体外接球，
∴三棱锥B₁-ABO外接球的半径R=$\frac{1}{2}$$\sqrt{O{A}^{2}+O{B}^{2}+O{{B}_{1}}^{2}}$=$\frac{1}{2}\sqrt{3+1+\frac{9}{4}}$=$\frac{5}{4}$．
则三棱锥B₁-ABO外接球的体积为$V=\frac{4}{3}π{R^3}=\frac{4}{3}π{（\frac{5}{4}）^3}=\frac{125π}{48}$．

点评 本小题主要考查立体几何的相关知识，具体涉及到面面的平行关系在立体几何中的应用．本小题对考生的空间想象能力与运算求解能力有较高要求．