Question

16．已知双曲线C：$\frac{{y}^{2}}{2}$-$\frac{{x}^{2}}{b}$=1（b＞0）的离心率为2，则C上任意一点到两条渐近线的距离之积为（　　）

• A． $\sqrt{2}$
• B． $\frac{3}{2}$
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 利用点到直线的距离公式，结合双曲线方程，即可得出结论．

解答 解：∵双曲线的离心率是2，
∴e²=$\frac{{c}^{2}}{{a}^{2}}$=$\frac{2+b}{2}$=4，得b=6，
则双曲线方程为$\frac{{y}^{2}}{2}$-$\frac{{x}^{2}}{6}$=1，渐近线方程为y=±$\frac{\sqrt{3}}{3}$x，即x±$\sqrt{3}$y=0，
则C上任意一点P（x，y）到两条渐近线的距离之积为d₁d₂=$\frac{|x+\sqrt{3}y|}{2}×\frac{|x-\sqrt{3}y|}{2}$=$\frac{|{x}^{2}-3{y}^{2}|}{4}$=$\frac{6}{4}$=$\frac{3}{2}$，
故选：B

点评 本题主要考查双曲线的性质和方程，利用求出双曲线的渐近线，结合点到直线的距离公式是解决本题的关键．