Question

4．已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的离心率为$\frac{\sqrt{13}}{3}$，右焦点F，F在渐近线上的垂足为M，O为坐标原点，若$\overrightarrow{OF}$•$\overrightarrow{MF}$=4，则双曲线C的方程是$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{4}=1$．

Answer 1

分析 求出双曲线的渐近线，结合向量数量积的坐标关系，建立方程关系求出a，b，c即可得到结论．

解答 解：双曲线的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
不妨设其中一条渐近线为y=$\frac{b}{a}$x，右焦点为F（c，0）到渐近线y=$\frac{b}{a}$x的距离为|MF|=$\frac{|bc|}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=b，
则$\overrightarrow{OF}$•$\overrightarrow{MF}$=|$\overrightarrow{OF}$|•|$\overrightarrow{MF}$|cos∠OFM=（|$\overrightarrow{OF}$|cos∠OFM）•|$\overrightarrow{MF}$|=|$\overrightarrow{MF}$||$\overrightarrow{MF}$|=b²=4，即b=2，
∵双曲线的离心率为$\frac{\sqrt{13}}{3}$，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{13}}{3}$，
即c²=$\frac{13}{9}$a²=a²+4，
得$\frac{4}{9}$a²=4，则a²=9，得a=3，c=$\sqrt{13}$，
故双曲线的方程为$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{4}=1$，
故答案为：$\frac{{x}^{2}}{9}-\frac{{y}^{2}}{4}=1$

点评 本题主要考查双曲线方程的求解，根据双曲线的离心率和向量的数量积建立方程关系求出a，b，c，的是解决本题的关键．