Question

15．双曲线C：$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的离心率为$\frac{5}{4}$，焦点到渐近线的距离为3，则C的实轴长等于8．

Answer 1

分析 根据双曲线的离心率结合焦点到渐近线的距离建立方程关系求出a的值即可．

解答 解：∵双曲线的渐近方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
设一个焦点坐标为F（c，0），一个渐近线方程为bx-ay=0，
则焦点到渐近线的距离为3，
即d=$\frac{|bc|}{\sqrt{{b}^{2}+{a}^{2}}}=\frac{bc}{c}$=b=3，
∵双曲线C：$\frac{y^2}{a^2}-\frac{x^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的离心率为$\frac{5}{4}$，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{5}{4}$，即c=$\frac{5}{4}$a，
则c²=$\frac{25}{16}$a²=a²+9，
即$\frac{9}{16}$a²=9，
则a²=16，
即a=4，
则C的实轴长等于2a=8，
故答案为：8．

点评 本题主要考查双曲线的方程和性质，根据条件建立方程关系是解决本题的关键．