Question

14．已知△ABC中，AB=8，BC=10，AC=6，P点在平面ABC内，且$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$=-9，则|$\overrightarrow{PA}$|的取值范围为[1，4+$\sqrt{7}$]．

Answer 1

分析 由已知得到三角形为直角三角形，构建坐标系，求出点P的轨迹方程，由此可以判断|$\overrightarrow{PA}$|的取值范围．

解答 解：∵AB=8，BC=10，AC=6，
∴AB²+BC²=BC²，
∴AB⊥AC，
以A为原点，以AB为x轴，以AC为y轴，建立坐标系，
则A（0，0），B（8，0），C（0，6），
设P（x，y），（0＜x＜8，0＜y＜6），
∴$\overrightarrow{PB}$=（8-x，-y），$\overrightarrow{PC}$=（-x，6-y），
∴$\overrightarrow{PB}$•$\overrightarrow{PC}$=-8x+x²-6y+y²=-9，即（x-4）²+（y-3）²=16，
∵|$\overrightarrow{PA}$|=$\sqrt{{x}^{2}+{y}^{2}}$，
∴当P点在AD的连线上时，|$\overrightarrow{PA}$|的取值最小，
∴|$\overrightarrow{PA}$|=|$\overrightarrow{AD}$|-|$\overrightarrow{PD}$|=$\sqrt{{4}^{2}+{3}^{2}}$-4=5-4=1，
当P点在x轴上时，|$\overrightarrow{PA}$|的取值最大，
即（x-4）²+（0-3）²=16，
解得x=4+$\sqrt{7}$或x=4-$\sqrt{7}$舍去，
故|$\overrightarrow{PA}$|的取值范围为[1，4+$\sqrt{7}$]
故答案为：[1，4+$\sqrt{7}$]．

点评 本题考查平面向量的数量积的定义和性质，圆的有关知识，考查运算能力，属于中档题．