Question

6．已知抛物线C：y²=2px（p＞0）的焦点为F，点A，B在C上，且点F是△AOB的重心，则cos∠AFB为（　　）

• A． -$\frac{3}{5}$
• B． -$\frac{7}{8}$
• C． -$\frac{11}{12}$
• D． -$\frac{23}{25}$

Answer 1

分析 设A（m，$\sqrt{2pm}$）、B（m，-$\sqrt{2pm}$），则$\frac{0+m+m}{3}$=$\frac{p}{2}$，p=$\frac{4m}{3}$，可得A的坐标，求出AF，利用二倍角公式可求．

解答 解：由抛物线的对称性知，A、B关于x轴对称．
设A（m，$\sqrt{2pm}$）、B（m，-$\sqrt{2pm}$），则$\frac{0+m+m}{3}$=$\frac{p}{2}$，∴p=$\frac{4m}{3}$．
∴A（m，$\frac{2\sqrt{6}}{3}$m），
∴AF=$\frac{5}{3}$m，
∴cos$\frac{1}{2}$∠AFB=$\frac{\frac{1}{3}m}{\frac{5}{3}m}$=$\frac{1}{5}$，
∴cos∠AFB=2cos²$\frac{1}{2}$∠AFB-1=-$\frac{23}{25}$．
故选：D．

点评 本题考查抛物线的性质，考查三角形重心的性质，考查二倍角公式的运用，属于中档题．