Question

16．锐角三角形△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$=4cosC，则$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanB}$的最小值是$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

Answer 1

分析 根据题意，利用基本不等式求出a、b、c的关系，再化简$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanB}$，利用正弦定理即可求出最小值．

解答 解：锐角三角形△ABC中，$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$=4cosC，
∴4cosC=$\frac{b}{a}$+$\frac{a}{b}$≥2$\sqrt{\frac{b}{a}•\frac{a}{b}}$=2，当且仅当a=b时“=”成立；
∴cosC≥$\frac{1}{2}$，即$\frac{1}{2}$≤cosC＜1，
∴0＜sinC≤$\frac{\sqrt{3}}{2}$；
∴$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanB}$=$\frac{cosAsinB+sinAcosB}{sinAsinB}$
=$\frac{sin（A+B）}{sinAsinB}$
=$\frac{sinC}{sinAsinB}$，
∴a=b=c时，$\frac{1}{tanA}$+$\frac{1}{tanB}$取得最小值为$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故答案为：$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．

点评 本题主要考查了三角形的正弦定理的应用问题，也考查了基本不等式的应用问题，是综合性题目．