Question

7．抛物线y²=2px（p＞0）的焦点为F，已知点A，B为抛物线上的两个动点，且满足∠AFB=120°，以AB为直径的⊙M与抛物线的准线切于点N，则$\frac{|AB|}{|MN|}$最小值为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 先画出图象、做出辅助线，设|AF|=a、|BF|=b，由抛物线定义得2|MN|=a+b，由题意和余弦定理可得|AB|²=（a+b）²-ab，再根据基本不等式，求得|AB|²的取值范围，代入$\frac{|AB{|}^{2}}{|MN{|}^{2}}$化简即可得到答案．

解答 解：如图：过A、B分别作准线的垂线AQ、BP，垂足分别是Q、P，
∵以AB为直径的⊙M与抛物线的准线切于点N，
∴MN⊥PQ．
设|AF|=a，|BF|=b，连接AF、BF，
由抛物线定义，得|AF|=|AQ|，|BF|=|BP|
在梯形ABPQ中，2|MN|=|AQ|+|BP|=a+b．
由余弦定理得，|AB|²=a²+b²-2abcos120°=a²+b²+ab，
配方得|AB|²=（a+b）²-ab，
∵ab≤（$\frac{a+b}{2}$）²，
∴（a+b）²-ab≥（a+b）²-（$\frac{a+b}{2}$）²=$\frac{3}{4}$（a+b）²，即|AB|²≥$\frac{3}{4}$（a+b）²，
∴$\frac{|AB{|}^{2}}{|MN{|}^{2}}$≥$\frac{\frac{3}{4}（a+b）^{2}}{\frac{1}{4}（a+b）^{2}}$=3，
则$\frac{|AB|}{|MN|}$≥$\sqrt{3}$，即所求的最小值是$\sqrt{3}$，
故答案为：$\sqrt{3}$．

点评 本题考查抛物线的定义、简单几何性质，基本不等式求最值，余弦定理的应用等知识，属于中档题．