Question

12．已知实数a，b∈R且a²-ab+b²=3，则$\frac{（1+ab）^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}+1}$的最大值为$\frac{16}{7}$．

Answer 1

分析 由基本不等式，结合a²-ab+b²=3可得-1≤ab≤3；化简$\frac{（1+ab）^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}+1}$=$\frac{（ab+1）^{2}}{ab+3+1}$=（ab+4）+$\frac{9}{ab+4}$-6，从而利用对勾函数的性质求最值．

解答 解：∵a²-ab+b²=3，
∴a²+b²=3+ab，
∴3+ab≥2ab且3+ab≥-2ab，
即-1≤ab≤3；
$\frac{（1+ab）^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}+1}$=$\frac{（ab+1）^{2}}{ab+3+1}$
=（ab+4）+$\frac{9}{ab+4}$-6，
∵3≤ab+4≤7，
∴当ab+4=7时有最大值为7+$\frac{9}{7}$-6=$\frac{16}{7}$，
故答案为：$\frac{16}{7}$．

点评 本题考查了基本不等式与函数的性质，同时考查了转化思想的应用．