Question

17．已知椭圆的焦点F₁（0，-$\sqrt{7}$），F₂（0，$\sqrt{7}$），直线y=$\frac{9\sqrt{7}}{7}$是椭圆的一条准线
（1）求椭圆方程；
（2）若P为椭圆上一点，且|PF₁|=|PF₂|+2，求∠F₁PF₂的大小．

Answer 1

分析 （1）由题意可设椭圆的标准方程为：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），可得c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=$\sqrt{7}$，$\frac{9\sqrt{7}}{7}$=$\frac{{a}^{2}}{c}$，解出即可得出．
（2）由于P为椭圆上一点，利用椭圆的定义可得：|PF₁|+|PF₂|=6，又|PF₁|=|PF₂|+2，联立解得|PF₁|，|PF₂|．再利用余弦定理即可得出∠F₁PF₂．

解答 解：（1）由题意可设椭圆的标准方程为：$\frac{{y}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{x}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0），
∴c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=$\sqrt{7}$，$\frac{9\sqrt{7}}{7}$=$\frac{{a}^{2}}{c}$，解得a=3，c=$\sqrt{7}$，b²=2．
∴椭圆的标准方程为：$\frac{{y}^{2}}{9}+\frac{{x}^{2}}{2}$=1．
（2）∵P为椭圆上一点，∴|PF₁|+|PF₂|=6，又|PF₁|=|PF₂|+2，
联立解得|PF₁|=4，|PF₂|=2．
∴cos∠F₁PF₂=$\frac{{4}^{2}+{2}^{2}-（2\sqrt{7}）^{2}}{2×4×2}$=-$\frac{1}{2}$，
解得∠F₁PF₂=120°．

点评 本题考查了椭圆的定义标准方程及其性质、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．