Question

7．函数f（x）在[a，b]上有定义，若对任意x₁，x₂∈[a，b]，有$f（{\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}}）≤\frac{1}{2}[{f（{x_1}）+f（{x_2}）}]$，则称f（x）在[a，b]上具有性质P．设f（x）在[1，3]上具有性质P，现给出如下命题：
①若f（x）在x=2处取得最大值1，则f（x）=1，x∈[1，3]；
②对任意x₁，x₂，x₃，x₄∈[1，3]，有f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{3}+{x}_{4}}{4}$）≤$\frac{1}{4}$[f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）+f（x₄）]．
③f（x）在[1，3]上的图象是连续不断的；
④f（x²）在$[{1，\sqrt{3}}]$上具有性质P；
其中真命题的序号是（　　）

• A． ①②
• B． ①③
• C． ②④
• D． ③④

Answer 1

分析 根据题设条件，分别举出反例，说明①和②都是错误的；同时证明③和④是正确的．

解答 解：在①中：在[1，3]上，f（2）=f（ $\frac{x+4-x}{2}$）≤$\frac{1}{2}$[f（x）+f（4-x）]，
∴$\left\{\begin{array}{l}{f（x）+f（4-x）≥2}\\{f（x）≤f（x）_{max}=f（2）=1}\\{f（4-x）≤f（x）_{max}=f（2）=1}\end{array}\right.$，
故f（x）=1，
∴对任意的x₁，x₂∈[1，3]，f（x）=1，
故①成立；
在②中，对任意x₁，x₂，x₃，x₄∈[1，3]，
有f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{3}+{x}_{4}}{4}$）=f（ $\frac{\frac{1}{2}（{x}_{1}+{x}_{2}）+\frac{1}{2}（{x}_{3}+{x}_{4}）}{2}$）
≤$\frac{1}{2}$[f（ $\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$）+f（ $\frac{{x}_{3}+{x}_{4}}{2}$ ）]
≤$\frac{1}{2}$[$\frac{1}{2}$（f（x₁ ）+f（x₂））+$\frac{1}{2}$（f（x₃）+f（x₄））]
=$\frac{1}{4}$[f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）+f（x₄）]，

∴f（$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}+{x}_{3}+{x}_{4}}{4}$）≤$\frac{1}{4}$[f（x₁）+f（x₂）+f（x₃）+f（x₄）]．
故②成立．
在③中，反例：f（x）=$\left\{\begin{array}{l}{（{\frac{1}{3}）}^{x}，1≤x＜3}\\{2，x=3}\end{array}\right.$在[1，3]上满足性质P，
但f（x）在[1，3]上不是连续函数，故③不成立；
在④中，反例：f（x）=-x在[1，3]上满足性质P，但f（x²）=-x²在[1，$\sqrt{3}$]上不满足性质P，
故④不成立；
故选：A．

点评 本题考查的知识点为函数定义的理解，说明一个结论错误时，只需举出反例即可．说明一个结论正确时，要证明对所有的情况都成立．