Question

18．函数f（x）=$\left\{{\begin{array}{l}{|lnx-2|，x＞0}\\{-{x^2}-2x+3，x≤0}\end{array}}$，直线y=m与函数f（x）的图象交于四个不同的点，交点横坐标从小到大依次记为a，b，c，d，下列说法正确的个数是（　　）
①m∈（3，4）；
②abcd∈[0，e⁴）；
③a+b+c+d∈$[{e^5}+\frac{1}{e}-2，{e^6}+\frac{1}{e^2}-2）$；
④若关于x的方程f（x）+x=t恰有四个不同实根，则t的取值范围是3＜t≤$\frac{13}{4}$．

• A． 1
• B． 2
• C． 3
• D． 4

Answer 1

分析 作出f（x）的函数图象，借助函数图象判断m的取值范围，根据函数的性质得出a+b=-2，cd=e⁴，利用基本不等式和函数单调性求出abcd，a+b+c+d的取值范围，求出两支图象斜率为-1的切线的截距，结合图象得出t的范围．

解答 解：作出f（x）的函数图象如图所示

（1）由图象可知若y=m与f（x）的图象有四个交点，则3≤m＜4，故①错误．
（2）∵y=-x²-2x+3关于直线x=-1对称，∴a＜0，b＜0，且a+b=-2，∴-a-b=2．
∴ab=（-a）（-b）＜（$\frac{-a-b}{2}$）²=1．
由lnc-2=-（lnd-2）得cd=e⁴．
∴0≤abcd＜e⁴．故②正确．
（3）∵3≤m＜4，∴3≤2-lnc＜4，解得$\frac{1}{{e}^{2}}＜c≤\frac{1}{e}$．
∴a+b+c+d=-2+c+$\frac{{e}^{4}}{c}$，
令g（c）=-2+c+$\frac{{e}^{4}}{c}$，则g′（c）=1-$\frac{{e}^{4}}{{c}^{2}}$．
∴当$\frac{1}{{e}^{2}}＜c≤\frac{1}{e}$时，f′（c）＜0，∴f（c）在（$\frac{1}{{e}^{2}}$，$\frac{1}{e}$]上是减函数．
∴f_max（c）=f（$\frac{1}{{e}^{2}}$）=e⁶+$\frac{1}{{e}^{2}}$-2，f_min（c）=f（$\frac{1}{e}$）=e⁵+$\frac{1}{e}$-2．故③正确．
（4）由f（x）+x=t得f（x）=-x+t．
由方程f（x）+x=t恰有四个不同实根可知直线y=-x+t与y=-x²-2x+3（x≤0）有两个交点，
与y=|lnx-2|有两个交点．显然t≥3．
设y=-x²-2x+3的斜率为-1的切线为y=-x+t₁，
则-2x-2=-1，解得x=-$\frac{1}{2}$．∴y=$\frac{17}{4}$．
∴t₁=x+y=$\frac{15}{4}$＞3．
设y=2-lnx的斜率为-1的切线为y=-x+t₂．
则-$\frac{1}{x}=-1$，解得x=1，y=2．
∴t₂=x+y=3．
∴3＜t＜$\frac{15}{4}$．故④错误．
故选B．

点评 本题考查了函数的零点个数判断，基本不等式，函数的最值，属于中档题．