Question

3．如图，缉私船在A处测出某走私船在方位角为45°，距离为10海里的C处，并测得走私船正沿方位角165°的方向以9海里/时的速度沿直线方向航行．我缉私船立即以v海里/时的速度沿直线方向前去截获．
（1）若v=21，求缉私船的航向和截获走私船所需的时间；（参考结论：sin22°≈$\frac{{3\sqrt{3}}}{14}$）
（2）若缉私船有两种不同的航向均能成功截获走私船，求v的取值范围．

Answer 1

分析 （1）在△ABC中，由正弦定理得∠CAB≈22°，从而方位角为45°+22°≈67°；在△ABC中，由余弦定理建立方程，即可求出截获走私船所需的时间；
（2）由（1）知${v^2}=81+\frac{100}{t^2}-\frac{90}{t}$，利用换元法得到关于x的方程100x²-90x+81-v²=0必有两不同的正实根，即可求解．

解答 解：（1）设缉私船截获走私船所需的时间为th，
依题意，得∠ACB=60°，
在△ABC中，由正弦定理，得，$sin∠CAB=\frac{BC}{AB}sin∠ACB=\frac{9t}{21t}sin$60°=$\frac{{3\sqrt{3}}}{14}$，
所以∠CAB≈22°，
从而方位角为45°+22°≈67°，（3分）
在△ABC中，由余弦定理得，（vt）²=（9t）²+10²-2×9t×10×cos60°，
当v=21时，36t²+9t-10=0，解得$t=\frac{5}{12}$（负值已舍），
答：缉私船的航向约为方位角67°，截获走私船所需时间为$\frac{5}{12}$h．（7分）
（2）由（1）知，（vt）²=（9t）²+10²-2×9t×10×cos60°，
即${v^2}=81+\frac{100}{t^2}-\frac{90}{t}$，
令$x=\frac{1}{t}＞0$，因为缉私船有两种不同的航向均能成功截获走私船，
所以关于x的方程100x²-90x+81-v²=0必有两不同的正实根，（11分）
所以$\left\{\begin{array}{l}81-{v^2}＞0\;，\;\;\\{90^2}-400（{81-{v^2}}）＞0\;\end{array}\right.$
解得$\frac{{9\sqrt{3}}}{2}＜v＜9$．（14分）

点评 本题考查利用数学知识解决实际问题，考查正弦定理、余弦定理的运用，正确计算，合理转化是关键．