Question

2．直线x+y+1=0与椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1的相交弦长为$\frac{24}{7}$，弦的中点坐标为$（-\frac{4}{7}，-\frac{3}{7}）$．

Answer 1

分析 设直线与椭圆相交于点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），中点M（x₀，y₀）．直线方程与椭圆方程联立化为：7x²+8x-8=0，利用根与系数的关系可得：|AB|=$\sqrt{（1+1）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$，利用中点坐标公式可得M．

解答 解：设直线与椭圆相交于点A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），中点M（x₀，y₀）．
联立$\left\{\begin{array}{l}{x+y+1=0}\\{\frac{{x}^{2}}{4}+\frac{{y}^{2}}{3}=1}\end{array}\right.$，化为：7x²+8x-8=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{8}{7}$，x₁x₂=$\frac{-8}{7}$．
∴|AB|=$\sqrt{（1+1）[（{x}_{1}+{x}_{2}）^{2}-4{x}_{1}{x}_{2}]}$=$\sqrt{2[（-\frac{8}{7}）^{2}-4×（-\frac{8}{7}）]}$=$\frac{24}{7}$．
x₀=$\frac{{x}_{1}+{x}_{2}}{2}$=-$\frac{4}{7}$，y₀=-1-x₀=-$\frac{3}{7}$．∴$M（-\frac{4}{7}，-\frac{3}{7}）$．
故答案分别为：$\frac{24}{7}$；$（-\frac{4}{7}，-\frac{3}{7}）$．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．