Question

14．F是双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的右焦点，过点F且垂直于一条渐近线的直线与另一条渐近线于点B，垂足为A，若2$\overrightarrow{FA}$+$\overrightarrow{FB}$=$\overrightarrow{0}$，则C的离心率e=（　　）

• A． 2
• B． $\sqrt{3}$
• C． $\sqrt{2}$
• D． $\frac{2\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 求出双曲线的渐近线方程，设出F（c，0），），由OA⊥FA，且OA的方程为y=$\frac{b}{a}$x，OB的方程为y=-$\frac{b}{a}$x，直线AB的方程为y=-$\frac{a}{b}$（x-c），联立直线方程解得A，B的坐标，再由向量共线的坐标表示，解得双曲线的a，b，c和离心率公式计算即可得到所求值．

解答 解：双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的渐近线方程为y=±$\frac{b}{a}$x，
设F（c，0），由OA⊥FA，
且OA的方程为y=$\frac{b}{a}$x，OB的方程为y=-$\frac{b}{a}$x，
直线AB的方程为y=-$\frac{a}{b}$（x-c），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{b}{a}x}\\{y=-\frac{a}{b}（x-c）}\end{array}\right.$解得A（$\frac{{a}^{2}}{c}$，$\frac{ab}{c}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{b}{a}x}\\{y=-\frac{a}{b}（x-c）}\end{array}\right.$解得B（$\frac{c{a}^{2}}{{a}^{2}-{b}^{2}}$，-$\frac{abc}{{a}^{2}-{b}^{2}}$），
由2$\overrightarrow{FA}$+$\overrightarrow{FB}$=$\overrightarrow{0}$，可得2（$\frac{{a}^{2}}{c}$-c）+$\frac{c{a}^{2}}{{a}^{2}-{b}^{2}}$-c=0，
由c²=a²+b²，化简可得a²=3b²，
c²=$\frac{4}{3}$a²，可得e=$\frac{c}{a}$=$\frac{2\sqrt{3}}{3}$．
故选：D．

点评 本题是对双曲线的渐近线以及离心率的综合考查，注意运用向量共线的坐标表示，考查运算能力，属于中档题．