Question

1．已知A、B为椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1与双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$$-\frac{{y}^{2}}{3}$=1的公共顶点M、N分别为椭圆和双曲线上一点（异于点A、B），$\overrightarrow{AM}$$+\overrightarrow{BM}$=λ（$\overrightarrow{AN}$$+\overrightarrow{BN}$）（λ∈R），设直线AM、BM、AN、BN的斜率分别为k₁、k₂、k₃、k₄，则k₁+k₂+k₃+k₄=（　　）

• A． -$\frac{3}{2}$
• B． 0
• C． $\frac{3}{2}$
• D． $\frac{4\sqrt{3}}{3}$

Answer 1

分析 由椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1与双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$$-\frac{{y}^{2}}{3}$=1，可得公共顶点A（-2，0），B（2，0）．设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．由$\overrightarrow{AM}$$+\overrightarrow{BM}$=λ（$\overrightarrow{AN}$$+\overrightarrow{BN}$），可得三点O，M，N共线．因此$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=k，代入椭圆与双曲线的方程可得：${x}_{1}^{2}$=$\frac{12}{3+4{k}^{2}}$，${x}_{2}^{2}$=$\frac{12}{3-4{k}^{2}}$．利用斜率计算公式可得：k₁=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$，k₂=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$，k₃=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+2}$，k₄=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}$，化简整理即可得出．

解答 解：由椭圆$\frac{{x}^{2}}{4}$+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1与双曲线$\frac{{x}^{2}}{4}$$-\frac{{y}^{2}}{3}$=1，可得公共顶点A（-2，0），B（2，0）．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂）．则$\frac{{x}_{1}^{2}}{4}+\frac{{y}_{1}^{2}}{3}$=1，$\frac{{x}_{2}^{2}}{4}-\frac{{y}_{2}^{2}}{3}$=1．
∵$\overrightarrow{AM}$$+\overrightarrow{BM}$=λ（$\overrightarrow{AN}$$+\overrightarrow{BN}$），∴三点O，M，N共线．
∴$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}}$=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}}$=k，
∴$\frac{{x}_{1}^{2}}{4}+\frac{{k}^{2}{x}_{1}^{2}}{3}$=1，可得：${x}_{1}^{2}$=$\frac{12}{3+4{k}^{2}}$，
同理可得：${x}_{2}^{2}$=$\frac{12}{3-4{k}^{2}}$．
k₁=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$，k₂=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$，k₃=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+2}$，k₄=$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}$，
则k₁+k₂+k₃+k₄=$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}+2}$+$\frac{{y}_{1}}{{x}_{1}-2}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}+2}$+$\frac{{y}_{2}}{{x}_{2}-2}$=$\frac{2{x}_{1}{y}_{1}}{{x}_{1}^{2}-4}$+$\frac{2{x}_{2}{y}_{2}}{{x}_{2}^{2}-4}$=$\frac{2k{x}_{1}^{2}}{{x}_{1}^{2}-4}$+$\frac{2k{x}_{2}^{2}}{{x}_{2}^{2}-4}$=$\frac{2k×\frac{12}{3+4{k}^{2}}}{\frac{12}{3+4{k}^{2}}-4}$+$\frac{2k×\frac{12}{3-4{k}^{2}}}{\frac{12}{3-4{k}^{2}}-4}$=$-\frac{3}{2k}$+$\frac{3}{2k}$=0，
故选：B．

点评 本题考查了椭圆与双曲线的标准方程及其性质、直线与椭圆双曲线相交问题、斜率计算公式、向量的平行四边形法则，考查了推理能力与计算能力，属于难题．