Question

15．设点E，F分别是棱长为2的正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱AB，AA₁的中点．如图，以C为坐标原点，射线CD、CB、CC₁分别是x轴、y轴、z轴的正半轴，建立空间直角坐标系
（1）求向量$\overrightarrow{{D_1}E}$与$\overrightarrow{{C_1}F}$的数量积；
（2）若点M，N分别是线段D₁E与线段C₁F上的点，问是否存在直线MN，MN⊥平面ABCD？若存在，求点M，N的坐标；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）在给定空间直角坐标系中，求出$\overrightarrow{{C}_{1}F}$，$\overrightarrow{{D}_{1}E}$，由此能求出向量$\overrightarrow{{D_1}E}$与$\overrightarrow{{C_1}F}$的数量积．
（2）若MN⊥平面ABCD，则$\overrightarrow{MN}$与平面ABCD的法向量（0，0，1）平行，由此利用向量法能求出点M，N的坐标．

解答 解：（1）在给定空间直角坐标系中，
相关点及向量坐标为C₁（0，0，2），F（2，2，1），$\overrightarrow{{C}_{1}F}$=（2，2，-1），
${D_1}（2，0，2），E（1，2，0），\overrightarrow{{D_1}E}=（-1，2，-2）$…（2分）…（4分
所以$\overrightarrow{{D_1}E}•\overrightarrow{{C_1}F}=-1×2+2×2+（-2）×（-1）=4$．  …（6分）
（2）存在唯一直线MN，MN⊥平面ABCD．  …（8分）
若MN⊥平面ABCD，则$\overrightarrow{MN}$与平面ABCD的法向量（0，0，1）平行，
所以设$M（a，a，m），N（a，a，n），\overrightarrow{MN}=（0，0，n-m），n≠m$…（10分）
又因为点M，N分别是线段D₁E与线段C₁F上的点，
所以$\overrightarrow{{D_1}M}∥\overrightarrow{{D_1}E}，\overrightarrow{{C_1}N}∥\overrightarrow{{C_1}F}$，即$\overrightarrow{{D_1}M}=λ\overrightarrow{{D_1}E}，\overrightarrow{{C_1}N}=t\overrightarrow{{C_1}F}$，…（12分）
（a-2，a，m-2）=（-λ，2λ，-2λ），（a，a，n-2）=（2t，2t，-t），
所以$\left\{\begin{array}{l}a-2=λ\\ a=2λ\\ m-2=-2λ\end{array}\right.$且$\left\{\begin{array}{l}a=2t\\ n-2=-t\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}a=\frac{4}{3}\\ m=\frac{2}{3}\\ n=\frac{4}{3}\end{array}\right.$
所以点M，N的坐标分别是$M（\frac{4}{3}，\frac{4}{3}，\frac{2}{3}）$，$N（\frac{4}{3}，\frac{4}{3}，\frac{4}{3}）$．  …（14分）

点评 本题考查向量的数量积的求法，考查满足条件的点的坐标的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用．