Question

19．过椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1的右焦点的直线交椭圆于A，B两点．若|AB|=8，则AB的中点P到右准线的距离为$\frac{20}{3}$到左准线的距离为10．

Answer 1

分析 椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1，可得a=5，b=4，c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$．右准线方程为：x=$\frac{{a}^{2}}{c}$，左准线方程为：x=-$\frac{{a}^{2}}{c}$．右焦点F（3，0）．设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为：my=x-3，与椭圆方程联立化为：（16m²+25）y²+96my-256=0，利用根与系数的关系、弦长公式可得：$\sqrt{（1+{m}^{2}）[（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}]}$=8，解得m，再利用中点坐标即可得出．

解答 解：椭圆$\frac{{x}^{2}}{25}$+$\frac{{y}^{2}}{16}$=1，可得a=5，b=4，c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=3．右准线方程为：x=$\frac{{a}^{2}}{c}$=$\frac{25}{3}$，左准线方程为：x=-$\frac{{a}^{2}}{c}$=-$\frac{25}{3}$．

右焦点F（3，0）．
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），直线AB的方程为：my=x-3，
联立$\left\{\begin{array}{l}{my=x-3}\\{\frac{{x}^{2}}{25}+\frac{{y}^{2}}{16}=1}\end{array}\right.$，化为：（16m²+25）y²+96my-256=0，
∴y₁+y₂=-$\frac{96m}{16{m}^{2}+25}$，y₁y₂=-$\frac{256}{16{m}^{2}+25}$．
∵|AB|=8，
∴$\sqrt{（1+{m}^{2}）[（{y}_{1}+{y}_{2}）^{2}-4{y}_{1}{y}_{2}]}$=8，
化为：4m²=5，解得m=$±\frac{\sqrt{5}}{2}$．
∴y₁+y₂=$±\frac{48\sqrt{5}}{45}$．
则AB的中点P$（\frac{5}{3}，±\frac{8\sqrt{5}}{15}）$到右准线的距离为$\frac{20}{3}$，到左准线的距离为10．
故答案分别为：$\frac{20}{3}$；10．

点评 本题考查了椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交弦长问题、中点坐标公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．