Question

9．抛物线C：y²=4x的准线与x轴交于M，过焦点F作倾斜角为60°的直线与C交于A，B两点，则tan∠AMB=4$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 设AB方程y=$\sqrt{3}$（x-1），与抛物线方程y²=4x联立，求出A，B的坐标，利用夹角公式求出tan∠AMB．

解答 解：抛物线C：y²=4x的焦点F（1，0），M（-1，0），设AB方程y=$\sqrt{3}$（x-1），
y=$\sqrt{3}$（x-1），与y²=4x联立可得3x²-10x+3=0
可得x=$\frac{1}{3}$或3，
∴A（$\frac{1}{3}$，-$\frac{2\sqrt{3}}{3}$），B（3，2$\sqrt{3}$），
∴k_AM=-$\frac{\sqrt{3}}{2}$，k_BM=$\frac{\sqrt{3}}{2}$
∴tan∠AMB=$\frac{\frac{\sqrt{3}}{2}+\frac{\sqrt{3}}{2}}{1+\frac{\sqrt{3}}{2}•（-\frac{\sqrt{3}}{2}）}$=4$\sqrt{3}$．
故答案为：4$\sqrt{3}$．

点评 本题考查直线与抛物线的位置关系，考查差角的正切公式，正确求出A，B的坐标是关键．