Question

14．已知S_n为数列{a_n}的前n项和，且a₁=1，a₂=3，a_n+2=3a_n，则S₂₀₁₆=（　　）

• A． 2×（3¹⁰⁰⁸-1）
• B． 2×3¹⁰⁰⁸
• C． $\frac{{{3^{2016}}-1}}{2}$
• D． $\frac{{{3^{2016}}+1}}{2}$

Answer 1

分析 数列{a_n}满足：a₁=1，a₂=3，a_n+2=3a_n，可得：数列{a_n}的奇数项与偶数项分别成等比数列，公比都为3，利用分组求和即可得出．

解答 解：∵数列{a_n}满足：a₁=1，a₂=3，a_n+2=3a_n，
∴数列{a_n}的奇数项与偶数项分别成等比数列，公比都为3，
则S₂₀₁₆=（a₁+a₃+…+a₂₀₁₅）+（a₂+a₄+…+a₂₀₁₆）
=$\frac{{3}^{1008}-1}{3-1}$+$\frac{3（{3}^{1008}-1）}{3-1}$=2×（3¹⁰⁰⁸-1）．
故选；A．

点评 本题考查了等比数列通项公式及其前n项和的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．