Question

4．已知定义在R上的函数y=f（x）的导函数为f′（x），且满足f′（x）＜f（x），f（0）=1，则不等式$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$＜1的解集为（　　）

• A． （-∞，e⁴）
• B． （e⁴，+∞）
• C． （-∞，0）
• D． （0，+∞）

Answer 1

分析 构造函数g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$（x∈R），研究g（x）的单调性，结合原函数的性质和函数值，即可求解．

解答 解：设g（x）=$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$（x∈R），
则g′（x）=$\frac{f′（x）-f（x）}{{e}^{x}}$，
∵f′（x）＜f（x），
∴f′（x）-f（x）＜0
∴g′（x）＜0，
∴y=g（x）在定义域上单调递减
∵$\frac{f（x）}{{e}^{x}}$＜1
∴g（x）＜1
又∵g（0）=$\frac{f（0）}{{e}^{0}}$=1
∴g（x）＜g（0）
∴x＞0
故选：D．

点评 本题考查函数单调性与奇偶性的结合，结合已知条件构造函数，然后用导数判断函数的单调性是解题的关键．