Question

14．已知点A（1，2）在抛物线C：y²=2px上，过点A作两条直线分别交抛物线于点D、E，直线AD，AE的斜率分别为k_AD，k_AE．
（1）求抛物线C的方程；
（2）若直线DE经过点（-1，-2），求K_AD•K_AE的值．

Answer 1

分析 （1）利用点A（1，2）在抛物线C：y²=2px上，代入计算求出p，可得抛物线C的方程；
（2）通过利用直线DE与抛物线C方程，结合韦达定理计算即可．

解答 解：（1）∵点A（1，2）在抛物线C：y²=2px上，
∴4=2p，∴p=2，
∴y²=4x；
（2）设直线DE方程为：y+2=k（x+1），
联立，消去x、整理得：ky²-4y+4k-8=0，
由题意及韦达定理可得：y₁+y₂=$\frac{4}{k}$，y₁y₂=$\frac{4k-8}{k}$，
∴x₁+x₂=$\frac{{y}_{1}+{y}_{2}+4-2k}{k}$=$\frac{4+4k-2{k}^{2}}{{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{4-4k+{k}^{2}}{{k}^{2}}$，
∴k_AD•k_AE=$\frac{{y}_{1}-2}{{x}_{1}-1}•\frac{{y}_{2}-2}{{x}_{2}-1}$=$\frac{{y}_{1}{y}_{2}-2（{y}_{1}+{y}_{2}）+4}{{x}_{1}{x}_{2}-（{x}_{1}+{x}_{2}）+1}$=2．

点评 本题是一道直线与抛物线的综合题，考查运算求解能力，考查韦达定理，属于中档题．