Question

18．过双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{5}$=1的右焦点F作一直线（不平行于坐标轴）交双曲线于A、B两点，若点M是AB的中点，O为坐标原点，则k_AB•k_OM的值为（　　）

• A． $\frac{5}{4}$
• B． -$\frac{5}{4}$
• C． $\frac{4}{5}$
• D． -$\frac{4}{5}$

Answer 1

分析 设M（a，b），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），易知k_OM=$\frac{b}{a}$，再由点差法可知k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{5a}{4b}$，由此可求出k_AB•k_OM=$\frac{5}{4}$．

解答 解：设M（a，b），A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
∵M为AB的中点，∴x₁+x₂=2a，y₁+y₂=2b，
把A、B代入双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{4}-\frac{{y}^{2}}{5}$=1，得
$\frac{1}{4}$x₁²-$\frac{1}{5}$y₁²=1，$\frac{1}{4}$x₂²-$\frac{1}{5}$y₂²=1，
两式相减得$\frac{1}{4}$（x₁+x₂）（x₁-x₂）=$\frac{1}{5}$（y₁+y₂）（y₁-y₂），
∴$\frac{1}{2}$a（x₁-x₂）=$\frac{2}{5}$b（y₁-y₂），
∴k_AB=$\frac{{y}_{1}-{y}_{2}}{{x}_{1}-{x}_{2}}$=$\frac{5a}{4b}$，
∵k_OM=$\frac{b}{a}$，∴k_AB•k_OM=$\frac{5}{4}$．
故选：A．

点评 本题考查双曲线的性质和应用，解题时要注意点差法的合理运用，同时考查中点坐标公式和直线的斜率公式的运用，属于中档题．