Question

10．已知双曲线 $C：\frac{x^2}{a^2}-\frac{y^2}{b^2}=1（a＞0，b＞0）$的右焦点为F，双曲线C与过原点的直线相交于A、B两点，连接AF，BF．若|AF|=6，|BF|=8，$cos∠BAF=\frac{3}{5}$，则该双曲线的离心率为5．

Answer 1

分析 在△AFB中，由余弦定理可得|BF|²=|AB|²+|AF|²-2|AB|•|AF|cos∠BAF，即可得到|AB|，由勾股定理的逆定理，可得∠ABF=90°，设F′为双曲线的右焦点，连接BF′，AF′．根据对称性可得四边形AFBF′是矩形．即可得到a，c，进而求得离心率．

解答 解：在△AFB中，由余弦定理可得
|BF|²=|AB|²+|AF|²-2|AB|•|AF|cos∠BAF，
即有64=|AB|²+36-12|AB|•
化为|AB|²-$\frac{36}{5}$|AB|-28=0，
解得|AB|=10．
由勾股定理的逆定理，可得∠ABF=90°，
设F'为双曲线的右焦点，连接BF′，AF′．
根据对称性可得四边形AFBF′是矩形．
结合矩形性质可知，2c=10，利用双曲线定义，2a=8-6=2，
所以离心率e=$\frac{c}{a}$=5．
故答案为：5．

点评 熟练掌握余弦定理、双曲线的定义、对称性、离心率、矩形的性质等基础知识是解题的关键，考查运算能力，属于中档题．