Question

11．各项均为正数的等比数列{a_n}中，4a₁，2a₃，a₅成等差数列，且a₁+a₃+a₅=14，则a₁+a₃+a₅+…+a_2n+1=2ⁿ⁺²-2．

Answer 1

分析 设a₁＞0，q＞0，运用等差数列中项的性质，等比数列的通项公式，解方程可得公比q，再由条件解方程可得首项，再由等比数列的求和公式，注意公比和项数，计算即可得到所求和．

解答 解：各项均为正数的等比数列{a_n}中，a₁＞0，q＞0，
由4a₁，2a₃，a₅成等差数列，可得4a₃=4a₁+a₅，
即有4a₁q²=4a₁+a₁q⁴，
解得q²=2，
a₁+a₃+a₅=14，可得a₁（1+q²+q⁴）=14，
即有a₁（1+2+4）=14，解得a₁=2，
则a₁+a₃+a₅+…+a_2n+1=$\frac{{a}_{1}（1-{q}^{2（n+1）}）}{1-{q}^{2}}$=$\frac{2（1-{2}^{n+1}）}{1-2}$
=2ⁿ⁺²-2．
故答案为：2ⁿ⁺²-2．

点评 本题考查等比数列的通项公式和求和公式的运用，等差数列的中项的性质，考查方程思想和运算能力，属于中档题．