Question

8．已知x₁＞0，x₂＞0，x₁+x₂＜ex₁x₂（e为自然对数的底数），则（　　）

• A． x₁+x₂＞1
• B． x₁+x₂＜1
• C． $\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$＜$\frac{1}{e}$
• D． $\frac{1}{{x}_{1}}$+$\frac{1}{{x}_{2}}$＞$\frac{1}{e}$

Answer 1

分析 推导出（x₁+x₂）（$\frac{1}{{x}_{1}}+\frac{1}{{x}_{2}}$）≥4，$\frac{1}{{x}_{1}}+\frac{1}{{x}_{2}}$＜e，由此能推导出${x}_{1}+{x}_{2}＞\frac{4}{e}$＞1．

解答 解：∵x₁＞0，x₂＞0，x₁+x₂＜ex₁x₂（e为自然对数的底数），
∴$\frac{{x}_{1}}{{x}_{1}{x}_{2}}+\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}{x}_{2}}$=$\frac{1}{{x}_{1}}+\frac{1}{{x}_{2}}$=＜e，
而（x₁+x₂）（$\frac{1}{{x}_{1}}+\frac{1}{{x}_{2}}$）=1+$\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}+\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}$+1≥2+2$\sqrt{\frac{{x}_{1}}{{x}_{2}}•\frac{{x}_{2}}{{x}_{1}}}$=4．
即（x₁+x₂）（$\frac{1}{{x}_{1}}+\frac{1}{{x}_{2}}$）≥4，
又$\frac{1}{{x}_{1}}+\frac{1}{{x}_{2}}$＜e，
∴${x}_{1}+{x}_{2}＞\frac{4}{e}$＞1．
故选：A．

点评 本题考查有理数指数幂，是中档题，解题时要认真审题，注意有理数指数幂性质、运算法则的合理运用．