Question

15．已知函数f（x）=lnx+a（x²-3x+2），其中a为参数．
（1）当a=0时，求函数f（x）在x=1处的切线方程；
（2）讨论函数f（x）极值点的个数，并说明理由；
（3）若对任意x∈[1，+∞），f（x）≥0恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）根据导数的几何意义，求得切线的斜率，利用点斜式方程，即可求得函数f（x）在x=1处的切线方程；
（2）求导，分类讨论，根据导数与函数单调性及极值的关系，分别求得函数f（x）极值点的个数；
（3）方法一：由（2）可知：分类讨论，根据函数的单调性，求得f（x）的最值，即可求得a的取值范围；
方法二：设g（x）=2ax²-3ax+1，根据二次函数的性质，分类讨论，即可求得实数a的取值范围．

解答 解：（1）当a=0时，f（x）=lnx，f（1）=0，
求导f′（x）=$\frac{1}{x}$，f′（1）=1，
f（x）在x=1处的切线斜率k=1，则y-0=1×（x-1），整理得：y=x-1，；
∴函数f（x）在x=1处的切线方程y=x-1；…（3分）
（2）f（x）=lnx+a（x²-3x+2），定义域为（0，+∞）$f'（x）=\frac{1}{x}+a（2x-3）=\frac{{2a{x^2}-3ax+1}}{x}$，设g（x）=2ax²-3ax+1，
①当a=0时，g（x）=1，故f'（x）＞0，
∴f（x）在（0，+∞）上为增函数，所以无极值点．…（4分）
②当a＞0时，△=9a²-8a，
若0＜a≤$\frac{8}{9}$时△≤0，g（x）≥0，故f'（x）≥0，故f（x）在（0，+∞）上递增，所以无极值点．
若a＞$\frac{8}{9}$时△＞0，设g（x）=0的两个不相等的实数根为x₁，x₂，且x₁＜x₂，
且${x_1}+{x_2}=\frac{3}{2}$，而g（0）=1＞0，则$0＜{x_1}＜\frac{3}{4}＜{x_2}$，
所以当x∈（0，x₁），g（x）＞0，f'（x）＞0，f（x）单调递增；
当x∈（x₁，x₂），g（x）＜0，f'（x）＜0，f（x）单调递减；
当x∈（x₂，+∞），g（x）＞0，f′（x）＞0，f（x）单调递增．
所以此时函数f（x）有两个极值点；…（7分）
③当a＜0时△＞0，设g（x）=0的两个不相等的实数根为x₁，x₂，且x₁＜x₂，
但g（0）=1＞0，所以x₁＜0＜x₂，
所以当x∈（0，x₂），g（x）＞0，f'（x）＞0，f（x）单调递増；
当x∈（x₂，+∞），g（x）＜0，f′（x）＜0，f（x）单调递减．
所以此时函数f（x）只有一个极值点．
综上得：
当a＜0时f（x）有一个极值点；
当0≤a≤$\frac{8}{9}$时f（x）的无极值点；
当a＞$\frac{8}{9}$时，f（x）的有两个极值点．…（9分）
（3）方法一：当0≤a≤$\frac{8}{9}$时，由（2）知f（x）在[1，+∞）上递增，
所以f（x）≥f（1）=0，符合题意； …（10分）
当$\frac{8}{9}$＜a≤1时，g（1）=1-a≥0，x₂≤1，f（x）在[1，+∞）上递增，所以f（x）≥f（1）=0，符合题意；    …（12分）
当a＞1时，g（1）=1-a＜0，x₂＞1，所以函数f（x）在（1，x₂）上递减，所以f（x）＜f（1）=0，不符合题意；          …（14分）
当a＜0时，由（1）知lnx≤x-1，于是f（x）=lnx+a（x²-3x+2）≤x-1+a（x²-3x+2）
当$x＞2-\frac{1}{a}$时，x-1+a（x²-3x+2）＜0，此时f（x）＜0，不符合题意．
综上所述，a的取值范围是0≤a≤1．…（16分）
方法二：g（x）=2ax²-3ax+1，注意到对称轴为$x=\frac{3}{4}$，g（1）=1-a，
当0≤a≤1时，可得g（x）≥0，故f（x）在[1，+∞）上递增，所以f（x）≥f（1）=0，符合题意；
当a＞1时，g（1）=1-a＜0，x₂＞1，所以函数f（x）在（1，x₂）上递减，此时f（x）＜f（1）=0，不符合题意；
当a＜0时，由（1）知lnx≤x-1，于是f（x）=lnx+a（x²-3x+2）≤x-1+a（x²-3x+2）
当$x＞2-\frac{1}{a}$时，x-1+a（x²-3x+2）＜0，此时f（x）＜0，不符合题意．
综上所述，s的取值范围是0≤a≤1．…（16分）

点评 本题考查导数的综合应用，考查导数与函数单调性及极值的关系，考查二次函数的性质，考查分类讨论思想，考查计算能力，属于难题．