Question

6．在直角坐标系xOy中，圆C的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}x=1+cost\\ y=sint\end{array}\right.$（为参数），以坐标原点O为极点，以轴正半轴为极轴，建立极坐标系．
（1）求圆C的极坐标方程；
（2）直线的极坐标方程是$2ρsin（α+\frac{π}{4}）=2\sqrt{2}$，曲线C₁的极坐标方程为θ=α₀，其中α₀满足tanα₀=2，曲线C₁与圆C的交点为O，P，与直线的交点为Q，求线段PQ的长．

Answer 1

分析 （1）圆C的普通方程为（x-1）²+y²=1，由x=ρcosθ，y=ρsinθ，能求出圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ．
（2）设（ρ₁，θ₁）为点P的极坐标，由$\left\{\begin{array}{l}{ρ_1}=2cos{θ_1}\\ tan{θ_1}=2\end{array}\right.$，求出$\left\{\begin{array}{l}{ρ_1}=\frac{2}{5}\sqrt{5}\\ tan{θ_1}=2\end{array}\right.$，设（ρ₂，θ₂）为点Q的极坐标，联立方程组求出$\left\{\begin{array}{l}{ρ_2}=\frac{2}{3}\sqrt{5}\\ tan{θ_2}=2\end{array}\right.$，由θ₁=θ₂，能求出线段PQ的长．

解答 解：（1）圆C的普通方程为（x-1）²+y²=1，
又x=ρcosθ，y=ρsinθ，
圆C的极坐标方程为ρ=2cosθ．
（2）设（ρ₁，θ₁）为点P的极坐标，
则有$\left\{\begin{array}{l}{ρ_1}=2cos{θ_1}\\ tan{θ_1}=2\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{ρ_1}=\frac{2}{5}\sqrt{5}\\ tan{θ_1}=2\end{array}\right.$，
设（ρ₂，θ₂）为点Q的极坐标，
则$\left\{\begin{array}{l}2{ρ_2}（sin{θ_2}cos\frac{π}{4}+cos{θ_2}sin\frac{π}{4}）=2\sqrt{2}\\ tan{θ_2}=2\end{array}\right.$，
解得$\left\{\begin{array}{l}{ρ_2}=\frac{2}{3}\sqrt{5}\\ tan{θ_2}=2\end{array}\right.$，
由于θ₁=θ₂，∴$|PQ|=|{ρ_1}-{ρ_2}|=\frac{4}{15}\sqrt{5}$，
∴线段PQ的长为$\frac{4}{15}\sqrt{5}$．

点评 本题考查圆的极坐标方程的求法，考查线段长的求法，考查极坐标方程、直角坐标方程、参数方程的互化等基础知识，考查推理论证能力、运算求解能力，考查化归与转化思想、函数与方程思想，是中档题．