Question

已知f（x）=x²+ax+3，当x∈[-1，1]时，f（x）＞a恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

考点：函数恒成立问题

专题：函数的性质及应用,不等式的解法及应用

分析：把f（x）=x²+ax+3代入f（x）＞a，分离参数a后得到a＜

x2+3

1-x

，令 1-x=t换元，得到a＜t+

4

t

-2（0＜t≤2），求出函数g（t）=t+

4

t

-2（0＜t≤2）的最小值后得答案．

解答： 解：由f（x）＞a，得x²+ax+3＞a，
即a（1-x）＜x²+3，
∵x∈[-1，1]，
当x=1时，对于任意实数a都成立；
当x≠1时，a＜

x2+3

1-x

．
令 1-x=t，
则x=1-t，x²=t²-2t+1且-1≤1-t＜1，0＜t≤2，
则x²+3=t²-2t+4，
a＜

t2-2t+4

t

=t+

4

t

-2（0＜t≤2）．
令g（t）=t+

4

t

-2（0＜t≤2）．
则当t=2时函数g（t）有最小值为2．
∴a＜2．
综上，a＜2．

点评：本题考查了函数恒成立问题，考查了数学转化思想方法，训练了分离参数法，考查了利用基本不等式求最值，是中档题．