Question

【题目】已知直线，且与坐标轴形成的三角形面积为.求：

（1）求证：不论为何实数，直线过定点P；

（2）分别求和时，所对应的直线条数；

（3）针对的不同取值，讨论集合直线经过P，且与坐标轴围成的三角形面积为中的元素个数.

Answer 1

【答案】（1）定点，见解析；（2）时，2条直线，时，4条直线；（3）①时，2条直线； ②时，3条直线； ③时，4条直线.

【解析】

（1）直线方程化为，令求得直线所过的定点；

（2）由题意知直线的斜率存在且不为0，设出直线方程，求出直线与轴的交点，计算对应三角形的面积，由此求得直线条数；

（3）由题意得，讨论和时方程对应的实数根，从而求出对应直线的条数，即可得出集合直线经过P且与坐标轴围成的三角形面积为中元素的个数．

（1）直线可化为，

令，解得，

∴不论为何实数，直线过定点.

（2）由题意知，直线的斜率存在，且，

设直线方程为，则直线与轴的交点为，与轴的交点为；

∴的面积为；

令，得，时，方程化为，

解得，有两个正根，即有两条直线；

时，方程化为，，方程无实数根，即无直线；

综上知，时有两条直线；

令，得，时，方程化为，

解得，有两个正根，即有两条直线；

时，方程化为，解得，有两个负根，即有两条直线；

综上知，时有四条直线；

（3）由题意得，，时，方程化为，

解得，有两个正根，即有两条直线；

时，方程化为，， 时，

，方程无实数根，此时无直线；

时，，方程有一负根，此时有一条直线；

时，，解得，方程有两负根，即有两条直线；

综上知，时有两条直线；时有三条直线，时有4条直线；

所以时，集合直线经过P且与坐标轴围成的三角形面积为中的元素有2个；

时，集合直线经过P且与坐标轴围成的三角形面积为中的元素有3个；

时，集合直线经过P且与坐标轴围成的三角形面积为中的元素有4个．